Logo
Math & Programming
Blog Downloads Links Gallery E-mail me Subscribe!
Ряд Неймана
Posted by siomax 
at 2011-07-13 22:28:46
Многие, наверное, знают про чудодейственный ряд Неймана. Он являет собой то чудо, которое позволяет в явном виде выписать обращение линейного оператора. А именно, если A in L(X), где X — некоторое банахово пространство, и спектральный радиус p(A) < 1, то справедлива формула
где I — тождественный (единичный) оператор.
В случае матриц условие p(A) < 1 переходит в условие |lambda_max(A)| < 1, где lambda_max — наибольшее по модулю собственное значение матрицы A.
В таком же виде можно записать элемент, обратный к элементу 1-p некоторого кольца, если p — нильпотент (то есть exists n: p^n = 0). Только тогда, естественно, ряд превратится в конечную сумму.
Интересным было такое наблюдение: ряд Неймана можно переписать в виде бесконечного произведения, а именно, при вышеописанных ограничениях на оператор A справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся единственностью обратного элемента/оператора/матрицы (как пожелаете). Рассмотрим элемент I-A. Домножим его на I+A:

Теперь домножим получившееся на I-A^2. Аналогично получаем
Продолжая в том же духе, получим, что
и, в силу единственности обратного элемента, получаем искомое соотношение.

Надо отметить, что если вы вздумаете считать таким образом обратную матрицу, то заметите, что сходимость из линейной превратилась в квадратичную.

No comments here.

Log in to make your comments.

 
 
 
 
"To those who ask what the infinitely small quantity in mathematics is, we answer that it is actually zero. Hence there are not so many mysteries hidden in this concept as they are usually believed to be." – Leonhard Euler.