Logo
Math & Programming
Blog Downloads Links Gallery E-mail me Subscribe!
Ряд Неймана
Posted by siomax 
at 2011-07-13 22:28:46
Многие, наверное, знают про чудодейственный ряд Неймана. Он являет собой то чудо, которое позволяет в явном виде выписать обращение линейного оператора. А именно, если A in L(X), где X — некоторое банахово пространство, и спектральный радиус p(A) < 1, то справедлива формула
где I — тождественный (единичный) оператор.
В случае матриц условие p(A) < 1 переходит в условие |lambda_max(A)| < 1, где lambda_max — наибольшее по модулю собственное значение матрицы A.
В таком же виде можно записать элемент, обратный к элементу 1-p некоторого кольца, если p — нильпотент (то есть exists n: p^n = 0). Только тогда, естественно, ряд превратится в конечную сумму.
Интересным было такое наблюдение: ряд Неймана можно переписать в виде бесконечного произведения, а именно, при вышеописанных ограничениях на оператор A справедлива формула

Доказательство. Воспользуемся единственностью обратного элемента/оператора/матрицы (как пожелаете). Рассмотрим элемент I-A. Домножим его на I+A:

Теперь домножим получившееся на I-A^2. Аналогично получаем
Продолжая в том же духе, получим, что
и, в силу единственности обратного элемента, получаем искомое соотношение.

Надо отметить, что если вы вздумаете считать таким образом обратную матрицу, то заметите, что сходимость из линейной превратилась в квадратичную.

No comments here.

Log in to make your comments.

 
 
 
 
"There exists, if I am not mistaken, an entire world which is the totality of mathematical truths, to which we have access only with our mind, just as a world of physical reality exists, the one like the other independent of ourselves, both of divine creation." – Charles Hermite.