Доказательство. Рассмотрим произвольную точку

и множество

.
1. Занумеруем элементы

числами от 1 до

так, чтобы из

следовало

. Для этого рассмотрим все минимальные элементы

, то есть элементы, меньше которых нет. По лемме Цорна хотя бы один такой элемент существует; расположим их все в начале нашего списка элементов. Они, очевидно, не сравнимы между собой, и поэтому пока что поставленное условие выполняется. Далее вычтем их из

и для полученного множества повторим эту операцию. В силу конечности

и существования минимальных элементов на каждом шаге рано или поздно мы исчерпаем все элементы

, и получим

2. Теперь введём символ

Так мы сможем переписать выражение для

в виде

а выражение для

— в виде


(Здесь мы «продлили» функцию

на случай

.) Если мы теперь потребуем, чтобы

то этого будет достаточно для справедливости формулы, восстанавливающей

.
Получаем матричное уравнение

. Заметим, что в силу принятого в п. 1 упорядочивания элементов

представляет из себя нижнетреугольную матрицу с единичной диагональю, и, значит,

. Притом

также получается нижнетреугольной, а значит,

при

, и наше «продление» функции

было справедливым.
3. Остаётся заметить, что если мы рассмотрим элемент

, то уже рассмотренные элементы

, принадлежащие также и

, определят подматрицы в

и

, и если взять значения

, определённые ранее, и исключить соответствующие переменные из системы уравнений, то она всё ещё будет обладать единственным решением.
Источник: Кириллов А., Гвишиани А. — Теоремы и задачи функционального анализа. М.: «Наука», 1988 г.