Logo
Math & Programming
Blog Downloads Links Gallery E-mail me Subscribe!
Функция Мёбиуса
Posted by siomax 
at 2011-06-29 20:45:08
Интересная вещь, которая в интернете всюду упоминается только в одном несчастном частном случае.
Напомним, что множество называется частично упорядоченным, если на нём введено транзитивное антисимметричное отношение <=, называемое отношением порядка, притом необязательно все элементы попарно сравнимы.
Итак, пусть X — частично упорядоченное множество, и отношение порядка обладает на нём следующим свойством: множество M(x) = {y <= x} конечно для всех x из X. Рассмотрим произвольную функцию f, заданную на этом множестве и переводящую его, в принципе, в любое поле. Для этой функции введём новую функцию F по формуле
Покажем, что функция f восстанавливается по функции F с помощью формулы вида
Функция mu(x,y) здесь будет определена множеством X и отношением порядка на нём однозначно, и называется она функцией Мёбиуса.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку и множество .
1. Занумеруем элементы M_0 числами от 1 до n так, чтобы из x_i < x_j следовало i < j. Для этого рассмотрим все минимальные элементы M_0, то есть элементы, меньше которых нет. По лемме Цорна хотя бы один такой элемент существует; расположим их все в начале нашего списка элементов. Они, очевидно, не сравнимы между собой, и поэтому пока что поставленное условие выполняется. Далее вычтем их из M_0 и для полученного множества повторим эту операцию. В силу конечности M_0 и существования минимальных элементов на каждом шаге рано или поздно мы исчерпаем все элементы M_0, и получим
2. Теперь введём символ nu = ... Так мы сможем переписать выражение для F в виде
а выражение для f — в виде
(Здесь мы «продлили» функцию mu на случай y > x.) Если мы теперь потребуем, чтобы
то этого будет достаточно для справедливости формулы, восстанавливающей f.
Получаем матричное уравнение mu * nu = I. Заметим, что в силу принятого в п. 1 упорядочивания элементов nu представляет из себя нижнетреугольную матрицу с единичной диагональю, и, значит, сущесвует nu^-1 = mu. Притом mu также получается нижнетреугольной, а значит, mu(x,y) = 0 при y > x, и наше «продление» функции mu было справедливым.
3. Остаётся заметить, что если мы рассмотрим элемент x'_0 > x_0, то уже рассмотренные элементы x_1, ..., x_n, принадлежащие также и M'_0, определят подматрицы в mu и nu, и если взять значения mu, определённые ранее, и исключить соответствующие переменные из системы уравнений, то она всё ещё будет обладать единственным решением.
Источник: Кириллов А., Гвишиани А. — Теоремы и задачи функционального анализа. М.: «Наука», 1988 г.
[Теги: Математика, Функциональный анализ]

No comments here.

Log in to make your comments.

 
 
 
 
"Thus, they are free to replace some objects by others so long as the relations remain unchanged." – Henri Poincare.