Logo
Math & Programming
Blog Downloads Links Gallery E-mail me Subscribe!
Функция Мёбиуса
Posted by siomax 
at 2011-06-29 20:45:08
Интересная вещь, которая в интернете всюду упоминается только в одном несчастном частном случае.
Напомним, что множество называется частично упорядоченным, если на нём введено транзитивное антисимметричное отношение <=, называемое отношением порядка, притом необязательно все элементы попарно сравнимы.
Итак, пусть X — частично упорядоченное множество, и отношение порядка обладает на нём следующим свойством: множество M(x) = {y <= x} конечно для всех x из X. Рассмотрим произвольную функцию f, заданную на этом множестве и переводящую его, в принципе, в любое поле. Для этой функции введём новую функцию F по формуле
Покажем, что функция f восстанавливается по функции F с помощью формулы вида
Функция mu(x,y) здесь будет определена множеством X и отношением порядка на нём однозначно, и называется она функцией Мёбиуса.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку и множество .
1. Занумеруем элементы M_0 числами от 1 до n так, чтобы из x_i < x_j следовало i < j. Для этого рассмотрим все минимальные элементы M_0, то есть элементы, меньше которых нет. По лемме Цорна хотя бы один такой элемент существует; расположим их все в начале нашего списка элементов. Они, очевидно, не сравнимы между собой, и поэтому пока что поставленное условие выполняется. Далее вычтем их из M_0 и для полученного множества повторим эту операцию. В силу конечности M_0 и существования минимальных элементов на каждом шаге рано или поздно мы исчерпаем все элементы M_0, и получим
2. Теперь введём символ nu = ... Так мы сможем переписать выражение для F в виде
а выражение для f — в виде
(Здесь мы «продлили» функцию mu на случай y > x.) Если мы теперь потребуем, чтобы
то этого будет достаточно для справедливости формулы, восстанавливающей f.
Получаем матричное уравнение mu * nu = I. Заметим, что в силу принятого в п. 1 упорядочивания элементов nu представляет из себя нижнетреугольную матрицу с единичной диагональю, и, значит, сущесвует nu^-1 = mu. Притом mu также получается нижнетреугольной, а значит, mu(x,y) = 0 при y > x, и наше «продление» функции mu было справедливым.
3. Остаётся заметить, что если мы рассмотрим элемент x'_0 > x_0, то уже рассмотренные элементы x_1, ..., x_n, принадлежащие также и M'_0, определят подматрицы в mu и nu, и если взять значения mu, определённые ранее, и исключить соответствующие переменные из системы уравнений, то она всё ещё будет обладать единственным решением.
Источник: Кириллов А., Гвишиани А. — Теоремы и задачи функционального анализа. М.: «Наука», 1988 г.
[Теги: Математика, Функциональный анализ]

No comments here.

Log in to make your comments.

 
 
 
 
"To unfold the secret laws and relations of those high faculties of thought by which all beyond the merely perceptive knowledge of the world and of ourselves is attained or matured, is a object which does not stand in need of commendation to a rational mind." – George Bool.