Доказательство. Рассмотрим произвольную точку и множество .
1. Занумеруем элементы числами от 1 до так, чтобы из следовало . Для этого рассмотрим все минимальные элементы , то есть элементы, меньше которых нет. По лемме Цорна хотя бы один такой элемент существует; расположим их все в начале нашего списка элементов. Они, очевидно, не сравнимы между собой, и поэтому пока что поставленное условие выполняется. Далее вычтем их из и для полученного множества повторим эту операцию. В силу конечности и существования минимальных элементов на каждом шаге рано или поздно мы исчерпаем все элементы , и получим

2. Теперь введём символ Так мы сможем переписать выражение для в виде

а выражение для  — в виде

(Здесь мы «продлили» функцию на случай .) Если мы теперь потребуем, чтобы

то этого будет достаточно для справедливости формулы, восстанавливающей .
Получаем матричное уравнение . Заметим, что в силу принятого в п. 1 упорядочивания элементов представляет из себя нижнетреугольную матрицу с единичной диагональю, и, значит, . Притом также получается нижнетреугольной, а значит, при , и наше «продление» функции было справедливым.
3. Остаётся заметить, что если мы рассмотрим элемент , то уже рассмотренные элементы , принадлежащие также и , определят подматрицы в и , и если взять значения , определённые ранее, и исключить соответствующие переменные из системы уравнений, то она всё ещё будет обладать единственным решением.
Источник: Кириллов А., Гвишиани А. — Теоремы и задачи функционального анализа. М.: «Наука», 1988 г.