(Напомним, что алгебра — это кольцо

с операцией домножения на скаляр, удовлетворяющей свойству

Кольцо, в свою очередь, — аддитивная абелева группа с операцией умножения, от которой требуется лишь дистрибутивность относительно сложения.)
Далее, в этой алгебре в изобилии присутствуют делители нуля. Введём обычное «комплексное сопряжение»

и «модуль»

; в «алгебраической записи»

. (Через последнюю формулу, кстати, легко проверить, что

.) Теперь можно сформулировать утверждение о делителях нуля:

является делителем нуля тогда и только тогда, когда

.
Доказательство. Во-первых,

, а значит, любой ненулевой элемент с нулевым модулем является делителем нуля.
Теперь пусть

— делитель нуля и

. Предположим, что

. Но любой элемент, не равный нулю по модулю, обратим:

Значит,

. Но тогда

, что противоречит с ассоциативностью операции

.
Таким образом, все делители нуля лежат на двух прямых

и

. Кстати, по ходу дела мы ввели на

операцию
деления:

Теперь, обладая операцией деления, можно ввести производную функции

по классической формуле

Запишем

;
условия Коши-Римана в

примут вид

Доказательство. Пусть

и

дифференцируемы в

. Запишем
Рассмотрим переменные

; используя

,

,

,

, получим представление

в альтернативной форме:

Отметим, что записанные условия эквивалентны условию

Теперь запишем


Теперь для того, чтобы производная существовала и была инвариантна по отношению к направлению (определяемому множителем

), необходимо и достаточно, чтобы

Напоследок отметим ещё один интересный факт: геометрическое место точек

, для которых

, представляет собой «симметричную» пару гипербол.
Источник: Шабат Б. В. — Введение в комплексный анализ. М.: 1969 г.