(Напомним, что алгебра — это кольцо
с операцией домножения на скаляр, удовлетворяющей свойству
Кольцо, в свою очередь, — аддитивная абелева группа с операцией умножения, от которой требуется лишь дистрибутивность относительно сложения.)
Далее, в этой алгебре в изобилии присутствуют делители нуля. Введём обычное «комплексное сопряжение»
и «модуль»
; в «алгебраической записи»
. (Через последнюю формулу, кстати, легко проверить, что
.) Теперь можно сформулировать утверждение о делителях нуля:
является делителем нуля тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. Во-первых,
, а значит, любой ненулевой элемент с нулевым модулем является делителем нуля.
Теперь пусть
— делитель нуля и
. Предположим, что
. Но любой элемент, не равный нулю по модулю, обратим:
Значит,
. Но тогда
, что противоречит с ассоциативностью операции
.
Таким образом, все делители нуля лежат на двух прямых
и
. Кстати, по ходу дела мы ввели на
операцию
деления:
Теперь, обладая операцией деления, можно ввести производную функции
по классической формуле
Запишем
;
условия Коши-Римана в
примут вид
Доказательство. Пусть
и
дифференцируемы в
. Запишем
Рассмотрим переменные
; используя
,
,
,
, получим представление
в альтернативной форме:
Отметим, что записанные условия эквивалентны условию
Теперь запишем
Теперь для того, чтобы производная существовала и была инвариантна по отношению к направлению (определяемому множителем
), необходимо и достаточно, чтобы
Напоследок отметим ещё один интересный факт: геометрическое место точек
, для которых
, представляет собой «симметричную» пару гипербол.
Источник: Шабат Б. В. — Введение в комплексный анализ. М.: 1969 г.
