Logo
Math & Programming
Blog Downloads Links Gallery E-mail me Subscribe!
Гиперболические комплексные числа
Posted by siomax 
at 2011-07-07 23:46:35
Гиперболические комплексные числа — ещё одна интересная, хоть и не шибко употребимая вещь.
Рассмотрим двумерное векторное пространство над полем R вещественных чисел. Ради привычности записи введём базис, векторы которого обозначим через 1 и i. Таким образом, элементы нашего векторного пространства будем записывать в виде z = x + iy.
Далее, введём в нашем пространстве умножение по формуле
Это определение злонамеренно не соответствует определению умножения комплексных чисел (здесь i^2 = 1). Легко проверить, что операция * коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна, что придаёт данному векторному пространству структуру коммутативной алгебры, которая называется системой гиперболических комплексных чисел и обозначается (H).

(Напомним, что алгебра — это кольцо K с операцией домножения на скаляр, удовлетворяющей свойству
Кольцо, в свою очередь, — аддитивная абелева группа с операцией умножения, от которой требуется лишь дистрибутивность относительно сложения.)
Далее, в этой алгебре в изобилии присутствуют делители нуля. Введём обычное «комплексное сопряжение» и «модуль» ; в «алгебраической записи» . (Через последнюю формулу, кстати, легко проверить, что .) Теперь можно сформулировать утверждение о делителях нуля: является делителем нуля тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Во-первых, , а значит, любой ненулевой элемент с нулевым модулем является делителем нуля.
Теперь пусть z — делитель нуля и . Предположим, что . Но любой элемент, не равный нулю по модулю, обратим:
Значит, . Но тогда , что противоречит с ассоциативностью операции *.

Таким образом, все делители нуля лежат на двух прямых и . Кстати, по ходу дела мы ввели на операцию деления:
Теперь, обладая операцией деления, можно ввести производную функции по классической формуле
Запишем ; условия Коши-Римана в примут вид
Доказательство. Пусть u и v дифференцируемы в R^2. Запишем
Рассмотрим переменные ; используя , , , , получим представление в альтернативной форме:

Отметим, что записанные условия эквивалентны условию
Теперь запишем
Теперь для того, чтобы производная существовала и была инвариантна по отношению к направлению (определяемому множителем ), необходимо и достаточно, чтобы

Напоследок отметим ещё один интересный факт: геометрическое место точек z, для которых , представляет собой «симметричную» пару гипербол.
Источник: Шабат Б. В. — Введение в комплексный анализ. М.: 1969 г.
[Теги: Математика]

No comments here.

Log in to make your comments.

 
 
 
 
"If nature were not beautiful, it would not be worth knowing, and if nature were not worth knowing, life would not be worth living." – Henri Poincare.