(Напомним, что алгебра — это кольцо с операцией домножения на скаляр, удовлетворяющей свойству

Кольцо, в свою очередь, — аддитивная абелева группа с операцией умножения, от которой требуется лишь дистрибутивность относительно сложения.)
Далее, в этой алгебре в изобилии присутствуют делители нуля. Введём обычное «комплексное сопряжение» и «модуль» ; в «алгебраической записи» . (Через последнюю формулу, кстати, легко проверить, что .) Теперь можно сформулировать утверждение о делителях нуля: является делителем нуля тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Во-первых, , а значит, любой ненулевой элемент с нулевым модулем является делителем нуля.
Теперь пусть  — делитель нуля и . Предположим, что . Но любой элемент, не равный нулю по модулю, обратим:

Значит, . Но тогда , что противоречит с ассоциативностью операции .

Таким образом, все делители нуля лежат на двух прямых и . Кстати, по ходу дела мы ввели на операцию деления:

Теперь, обладая операцией деления, можно ввести производную функции по классической формуле

Запишем ; условия Коши-Римана в примут вид

Доказательство. Пусть и дифференцируемы в . Запишем

Рассмотрим переменные ; используя , , , , получим представление в альтернативной форме:

Отметим, что записанные условия эквивалентны условию

Теперь запишем

Теперь для того, чтобы производная существовала и была инвариантна по отношению к направлению (определяемому множителем ), необходимо и достаточно, чтобы

Напоследок отметим ещё один интересный факт: геометрическое место точек , для которых , представляет собой «симметричную» пару гипербол.
Источник: Шабат Б. В. — Введение в комплексный анализ. М.: 1969 г.