Logo
Math & Programming
Blog Downloads Links Gallery E-mail me Subscribe!
Гиперболические комплексные числа
Posted by siomax 
at 2011-07-07 23:46:35
Гиперболические комплексные числа — ещё одна интересная, хоть и не шибко употребимая вещь.
Рассмотрим двумерное векторное пространство над полем R вещественных чисел. Ради привычности записи введём базис, векторы которого обозначим через 1 и i. Таким образом, элементы нашего векторного пространства будем записывать в виде z = x + iy.
Далее, введём в нашем пространстве умножение по формуле
Это определение злонамеренно не соответствует определению умножения комплексных чисел (здесь i^2 = 1). Легко проверить, что операция * коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна, что придаёт данному векторному пространству структуру коммутативной алгебры, которая называется системой гиперболических комплексных чисел и обозначается (H).

(Напомним, что алгебра — это кольцо K с операцией домножения на скаляр, удовлетворяющей свойству
Кольцо, в свою очередь, — аддитивная абелева группа с операцией умножения, от которой требуется лишь дистрибутивность относительно сложения.)
Далее, в этой алгебре в изобилии присутствуют делители нуля. Введём обычное «комплексное сопряжение» и «модуль» ; в «алгебраической записи» . (Через последнюю формулу, кстати, легко проверить, что .) Теперь можно сформулировать утверждение о делителях нуля: является делителем нуля тогда и только тогда, когда .
Доказательство. Во-первых, , а значит, любой ненулевой элемент с нулевым модулем является делителем нуля.
Теперь пусть z — делитель нуля и . Предположим, что . Но любой элемент, не равный нулю по модулю, обратим:
Значит, . Но тогда , что противоречит с ассоциативностью операции *.

Таким образом, все делители нуля лежат на двух прямых и . Кстати, по ходу дела мы ввели на операцию деления:
Теперь, обладая операцией деления, можно ввести производную функции по классической формуле
Запишем ; условия Коши-Римана в примут вид
Доказательство. Пусть u и v дифференцируемы в R^2. Запишем
Рассмотрим переменные ; используя , , , , получим представление в альтернативной форме:

Отметим, что записанные условия эквивалентны условию
Теперь запишем
Теперь для того, чтобы производная существовала и была инвариантна по отношению к направлению (определяемому множителем ), необходимо и достаточно, чтобы

Напоследок отметим ещё один интересный факт: геометрическое место точек z, для которых , представляет собой «симметричную» пару гипербол.
Источник: Шабат Б. В. — Введение в комплексный анализ. М.: 1969 г.
[Теги: Математика]

No comments here.

Log in to make your comments.

 
 
 
 
"I can calculate the motion of heavenly bodies, but not the madness of people." – Isaac Newton.